Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點o作射線OG、ON分別交AB，BC于點E，F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點P．則下列結論中：
⑴圖形中全等的三角形只有兩對；
⑵正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；
⑶BE+BF= OA；
⑷AE2+CF2=2OPOB．
正確的結論有（ ）個．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：⑴錯誤．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；

⑵正確．∵△AOE≌△BOF，∴四邊形BEOF的面積=△ABO的面積= 正方形ABCD的面積；

⑶正確．BE+BF=AB= OA；

⑷正確．

AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=（ OF）2=2OF2，

在△OPF與△OFB中，

∠OBF=∠OFP=45°，

∠POF=∠FOB，

∴△OPF∽△OFB，

OP：OF=OF：OB，

OF2=OPOB，

AE2+CF2=20POB．

另法：AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=（PF+PE）2=PE2+PF2+2PEPF．

作OM⊥EF，M為垂足．

∵OE=OF，

∴OM=ME=MF．

PE2+PF2=（ME﹣MP）2+（MF+MP）2=2（MO2+MP2）=2OP2．

∵O、E、B、F四點共圓，

∴PEPF=OPPB，

∴AE2+CF2=2OP2+2OPPB=2OP（OP+PB）=2OPOB．

所以答案是：C．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．