Question

【題目】如圖1，以為直徑作半圓，點在半圓上，連結且．連結是邊上的高，過點作交的延長線于點，交于點．

求證：

當為的中點時，求的值．

如圖2，取的中點，連結.若在點運動過程中，當四邊形的其中一邊長是的倍時，求所有滿足條件的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3) OG的長為或

【解析】

(1)根據圓周角定理得到，再利用等邊對等角以及等角的余角相等即可證明；

(2)根據中垂線的判定和性質以及等角的余角相等可求得，利用特殊角的三角函數值即可求解；

(3) 分，，三種情況討論，設參數，利用勾股定理構建方程即可求解．

(1)證明：

為直徑，

，

，

，

，

，

，

；

(2)，為中點，

為中垂線，

，

，

，

，

，

；

(3)為中點，

，，

四邊形，除外還有三邊，

故分類討論：設，

①當時，則，

在中，，

∴，即，

∵，

∴，

在中，，即，

在中，，即，

∴，

整理得，

解得：(舍去)，

∴；

②當時，則，

在中，，

，

即，

解得，（舍去），

即，

，

∵，

即，

，

∴；

③當時，則，

由①得：，

在中，，即，

在中，，即，

聯立：，

解得：，

∴，四邊形不存在；

綜上，OG的長為或．