Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，連接BD，點O為BD的中點，連接AO并延長交BC于點E，若，CD＝4，則AD的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長BC，AD交于F，過D作DS∥BC交AE于S，過A作AH⊥BF于H，設BE＝3m，CE＝5m，得到BC＝8m，根據全等三角形的性質得到DS＝BE＝3m，求得CF＝CD＝4，得到DF＝4，BF＝8m+4，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解：延長BC，AD交于F，過D作DS∥BC交AE于S，過A作AH⊥BF于H，

∵，

∴設BE＝3m，CE＝5m，

∴BC＝8m，

∵點O為BD的中點，

∴BO＝DO，

∵DS∥BE，

∴∠EBO＝∠SDO，

∵∠BOE＝∠DOS，

∴△BOE≌△DOS（ASA），

∴DS＝BE＝3m，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，

∴∠F＝45°，

∴△ABF和△DCF是等腰直角三角形，

∴CF＝CD＝4，

∴DF＝4，BF＝8m+4，

∴BH＝FH＝BF＝4m+2，AF＝BF＝4m+2；

∴EF＝BF﹣BE＝5m+4，AD＝4m﹣2，

∵DS∥EF，

∴△ADS∽△AFE，

∴，

∴，

解得：m＝1（經檢驗后，負值舍去），

∴AD的長為2，

故答案為：2．