Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=6，動點P從點A出發，以每秒 個單位長度的速度沿線段AD運動，動點Q從點D出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線段D﹣O﹣C運動，已知P、Q同時開始移動，當動點P到達D點時，P、Q同時停止運動．設運動時間為t秒．

（1）當t=1秒時，求動點P、Q之間的距離；

（2）若動點P、Q之間的距離為4個單位長度，求t的值；

（3）若線段PQ的中點為M，在整個運動過程中；直接寫出點M運動路徑的長度為　　．

Answer 1

【答案】（1）7；（2），t=2或4s時，PQ=4；（3）.

【解析】

（1）作QK⊥AD于K．根據矩形性質可知tan∠BDA=，所以∠BDA=30°，當t=1時，DQ=2，QK=DQ=1，DK=，根據勾股定理求出PQ長即可.（2）分兩種情況討論：①當0＜t≤3時，QK=t，PK=6﹣2t，已知PQ=4，所以t2+（6﹣2t）2=42，求出t的值即可. ②當3＜t≤6時，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．根據根據矩形性質可知OD+OQ=AQ=2t，AH=t， 已知AP=t，所以點P與點H重合，由PQ=4即可求出t的值.（3）作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．由矩形性質可知OD=OA，由OK⊥AD得DK=AK，根據DH=PA=t得KH=PK因為MK∥HQ，MQ=MP，所以點M在OD上時的運動距離為OK=．當點Q在線段OC上時，取CD的中點M′，OK的中點M，連接MM′，則點M的運動軌跡是線段MM′．根據勾股定理求出MM′的長即可，在整個運動過程中點M運動路徑的長度為MM′+.

（1）如圖1中，作QK⊥AD于K．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=90°，

∴tan∠BDA=，

∴∠BDA=30°，

當t=1時，DQ=2，QK=DQ=1，DK=，

∵PA=，

∴PK=4，

∴PQ= =7．

（2）①如圖1中，當0＜t≤3時，QK=t，PK=6﹣2t，

∵PQ=4，

∴t2+（6﹣2t）2=42，

解得t=2或（舍棄）

②如圖2中，當3＜t≤6時，作QH⊥AD于H，OK⊥AD于K，OF⊥OH于F．

由題意：AQ=2t，AH=t，

∵AP=t，

∴AH=AP，

∴P與H重合，

當PQ=4時，AQ=8，

∴2t=8，

∴t=2，

綜上所述，t=2或4s時，PQ=4．

（3）如圖3中，作OK⊥AD于K．QH⊥AD于H．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD=OA，

∵OK⊥AD，

∴DK=AK，

∵DH=PA=t，

∴KH=PK，

∵MK∥HQ，MQ=MP，

∴點M在線段OK上，當點Q從D到O時，點M的運動距離=OK=，

如圖4中，當點Q在線段OC上時，取CD的中點M′，OK的中點M，連接MM′，則點M的運動軌跡是線段MM′．

在Rt△OMM′中，MM′= =，

∴在整個運動過程中；直接寫出點M運動路徑的長度為.

故答案為．