Question

【題目】問題探究：

小紅遇到這樣一個問題：如圖1，中，，，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使，連接BE，證明，經過推理和計算使問題得到解決．

請回答：（1）小紅證明的判定定理是：__________________________________________；

（2）AD的取值范圍是________________________；

方法運用：

（3）如圖2，AD是的中線，在AD上取一點F，連結BF并延長交AC于點E，使，求證：．

（4）如圖3，在矩形ABCD中，，在BD上取一點F，以BF為斜邊作，且，點G是DF的中點，連接EG，CG，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）見解析

【解析】

（1）利用三角形的中線與輔助線條件，直接證明，從而可得證明全等的依據；

（2）利用全等三角形的性質得到求解的范圍，從而可得答案；

（3）延長至點，使，證明，利用全等三角形的性質與，證明，得到，從而可得答案；

（4）延長至點使，連接、、，證明，得到，利用銳角三角函數證明，再證明，利用相似三角形的性質可得是直角三角形，從而可得答案．

解：（1）如圖，AD是中線，

在與中，

故答案為：

（2）

故答案為：

（3）證明：延長至點，使，

∵是的中線

∴

在和中

∴，

∴，

又∵，

∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

又∵

∴

（4）證明：延長至點使，連接、、

∵G為的中點

∴

在和中

∴

∴

在中，∵，

∴

又矩形中，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∴，

又為的外角，

∴，

即，

∵，

∴，

∴，

即，

在和中，

∴，

又，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是直角三角形，

∵G為的中點，

∴，

即．