Question

【題目】如圖1，已知二次函數y=mx2+3mx﹣m的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），頂點D和點B關于過點A的直線l：y=﹣x﹣對稱．

（1）求A、B兩點的坐標及二次函數解析式；

（2）如圖2，作直線AD，過點B作AD的平行線交直線1于點E，若點P是直線AD上的一動點，點Q是直線AE上的一動點．連接DQ、QP、PE，試求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，請說明理由：

（3）將二次函數圖象向右平移個單位，再向上平移3個單位，平移后的二次函數圖象上存在一點M，其橫坐標為3，在y軸上是否存在點F，使得∠MAF=45°？若存在，請求出點F坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣，0），B（，0）；拋物線解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）

【解析】

（1）在y=mx2+3mx﹣m中令y=0，解方程求得x的值即可求得A、B的坐標，繼而根據已知求出點D的坐標，把點D坐標代入函數解析式y=mx2+3mx﹣m利用待定系數法求得m即可得函數解析式；

（2）先求出直線AD解析式，再根據直線BE∥AD，求得直線BE解析式，繼而可得點E坐標，如圖2，作點P關于AE 的對稱點P'，作點E關于x軸的對稱點E'，根據對稱性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，從而有DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，可知當D，Q，E'三點共線時，DQ+PQ+PE值最小，即DQ+PQ+PE最小值為DE'，根據D、E'坐標即可求得答案；

（3）分情況進行討論即可得答案.

（1）∵令y=0，

∴0=m x2+3mx﹣m，

∴x1=，x2=﹣，

∴A（﹣，0），B（，0），

∴頂點D的橫坐標為﹣，

∵直線y=﹣x﹣ 與x軸所成銳角為30°，且D，B關于y=﹣x﹣對稱，

∴∠DAB=60°，且D點橫坐標為﹣，

∴D（﹣，﹣3），

∴﹣3=m﹣m﹣m，

∴m=，

∴拋物線解析式y=x2+x﹣；

（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3），

∴直線AD解析式y=﹣x﹣，

∵直線BE∥AD，

∴直線BE解析式y=﹣x+，

∴﹣x﹣=﹣x+，

∴x=，

∴E（，﹣3），

如圖2，作點P關于AE 的對稱點P'，作點E關于x軸的對稱點E'，

根據對稱性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，

∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，

∴當D，Q，E'三點共線時，DQ+PQ+PE值最小，

即DQ+PQ+PE最小值為DE'，

∵D（﹣，﹣3），E'（，3），

∴DE'=12，

∴DQ+PQ+PE最小值為12；

（3）∵拋物線y=（x+）2﹣3圖象向右平移個單位，再向上平移3個單位，

∴平移后解析式y=x2，

當x=3時，y=3，

∴M （3，3），

如圖3

若以AM為直角邊，點M是直角頂點，在AM上方作等腰直角△AME，則∠EAM=45°，

直線AE交y軸于F點，作MG⊥x軸，EH⊥MG，則△EHM≌△AMG，

∵A（﹣，0），M（3，3），

∴E（3﹣3，3+），

∴直線AE解析式：y=x+，

∴F（0，），

若以AM為直角邊，點M是直角頂點，在AM上方作等腰直角△AME，

同理可得：F（0，﹣）.