Question

【題目】如圖，直線： 與軸、軸分別交于點B、C，經過B、C兩點的拋物線與軸的另一個交點為A．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點P在直線下方的拋物線上，過點P作PD∥軸交于點D，PE∥軸交于點E，

求PD+PE的最大值；

（3）設F為直線上的點，以A、B、P、F為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為（2）當時，PD+PE的最大值是3（3）能，以A、B、P、F為頂點的四邊形能構成平行四邊形．此時點F的坐標為F（3， ）或F（1， ）

【解析】試題分析: （1）在中求出和時與的值可得點 的坐標，根據點坐標利用待定系數法可得拋物線解析式；
（2）設P（， ），則D（， ），

E（， ），用表示出,配方即可求出最大值.

（3）令，求出點坐標,求出的值,然后分類討論.

試題解析:

（1）∵直線與軸、軸分別交于點B、C，

∴B（2，0）、C（0，1），

∵B、C在拋物線解上，

∴，

解得： ，

∴拋物線的解析式為．

（2）設P（， ），

∵PD∥軸，PE∥軸，點D，E都在直線上，

∴E（， ），D（， ），

∴PD+PE=,

,

，

∴當時，PD+PE的最大值是3．

（3）能，理由如下：

由，令，

解得： ， ，

∴A（，0），B（2，0），

∴，

若以A、B、P、F為頂點的四邊形能構成平行四邊形，

①當以AB為邊時，則AB∥PF且AB=PF，

設P（， ），則F（， ），

∴，

整理得： ，

解得： ， （與A重合，舍去），

∴F（3， ），

②當以AB為對角線時，連接PF交AB于點G，則AG=BG，PG=FG，

設G（m，0），

∵A（，0），B（2，0），

∴m-=2-m，∴m=，

∴G（，0），

作PM⊥AB于點M，FN⊥AB于點N，則NG=MG，PM=FN，

設P（， ），則F（， ），

∴，

整理得： ，

解得： ， （與A重合，舍去），

∴F（1， ）．

綜上所述，以A、B、P、F為頂點的四邊形能構成平行四邊形．此時點F的坐標為F（3， ）或F（1， ）．