Question

【題目】如圖，已知∠ABC=90°，AB=BC．直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C．點F是圓O上異于B、C的動點，直線BF與l相交于點E，過點F作AF的垂線交直線BC與點D．

（1）如果BE=15，CE=9，求EF的長；

（2）證明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；

（3）探求動點F在什么位置時，相應的點D位于線段BC的延長線上，且使BC=CD，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析（3）F在直徑BC下方的圓弧上，且

【解析】

（1）由直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，則可證得△CEF∽△BEC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EF的長；

（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根據同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，則可證得△CDF∽△BAF；

②由△CDF∽△BAF與△CEF∽△BCF，根據相似三角形的對應邊成比例，易證得，又由AB=BC，即可證得CD=CE；

（3）由CE=CD，可得BC= CD=CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度數，則可得F在⊙O的下半圓上，且.

（1）解：∵直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C．

∴∠BCE=90°，

又∵BC為直徑，

∴∠BFC=∠CFE=90°，

∵∠FEC=∠CEB，

∴△CEF∽△BEC，

∴，

∵BE=15，CE=9，

即：，

解得：EF= ；

（2）證明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，

∴∠ABF=∠FCD，

同理：∠AFB=∠CFD，

∴△CDF∽△BAF；

②∵△CDF∽△BAF，

∴，

又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，

∴△CEF∽△BCF，

∴，

∴，

又∵AB=BC，

∴CE=CD；

（3）解：∵CE=CD，

∴BC=CD=CE，

在Rt△BCE中，tan∠CBE=，

∴∠CBE=30°，

故為60°，

∴F在直徑BC下方的圓弧上，且．