Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y=a經過點A、B、C且點C坐標為(0，2)．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

（3）點H在線段AC上，若OH最短時，在x軸上找一點N，使△CHN周長最小時，求點N的坐標

（4）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）D(2,1)

（3）(，0)

（4）存在滿足條件的點P，坐標為(0，-2)或(2，1)或(5，-2)或(-3，-14).

【解析】

（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可以表示出點D的坐標，過D做DEy軸，交直線AC與點E，表示出DE的長，進一步表示出△DCA的面積，利用二次函數性質，求出點D坐標；

（3）根據垂線段最短確定點H位置，結合相似或三角函數，利用將軍飲馬模型，確定點N的位置，并求出其坐標；

（4）設出點P的坐標，表示出PM和AM的長，由三角形相似的性質可以得到關于點P的坐標的方程，可求出點P的坐標.

解：（1）由圖像得拋物線經過點A(4,0)、B(1,0)、C (0，2)，把A、B、C三點坐標代入解析式得：，解得，

∴拋物線解析式為：

（2）∵D在直線AC上方的拋物線上，

∴設D坐標為()（0＜t＜4），

如圖，過D作DEy軸，交直線AC與點E，

則點E坐標為()，

∴

∴

∵-1＜0，

∴當t=2時，S△DCA有最大值4，此時D坐標為(2,1);

（3）如圖，∵H在AC上，且OH最短，

∴OH為點O到AC的垂線段.

作OH⊥AC垂足為H，作OH⊥y軸，設點C關于x軸的對稱點為G，連接HG，交x軸與點N，此時，△CHN周長最小.

∵△CHF∽△CAO，

∴

∵△CHF∽△CHO，

∴

∴

∴，，

∵點G與點C關于x軸對稱，

∴OG=2

∵△GON∽△GFH，

∴

即：，解得ON=

∴點N坐標為(，0);

（4）如圖，設點P的坐標為()，則M坐標為()，

∴，

∵A(4,0)、C (0，2)，

∴OA=4，OC=2

∵PM⊥x軸，

∴∠PMA=∠COA=90°

∴當△PAM和△CAO相似時，有兩種情況.

①當時，，

解得：m=4或m=2,或m=0，

當m=4時，點P在x軸上，不合題意，舍去，

當m=0時，點P(0，-2)，

當m=2是，點P(2，1)；

②當時，，

解得：m=4或m=5,或m=-3，

當m=5時，點P(5，-2)，

當m=-3時，點P(-3，-14)，

綜上所述：存在滿足條件的點P，其坐標為(0，-2)或(2，1)或(5，-2)或(-3，-14).