Question

如圖，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和點B，點M和點N分別是l₁和l₂上的動點，MN沿l₁和l₂平移，若⊙O的半徑為1，∠AMN=60°，則下列結論不正確的是（　　）

• A、l₁和l₂的距離為2
• B、當MN與⊙O相切時，AM=

  3

• C、MN=

  4

  3

  3

• D、當∠MON=90°時，MN與⊙O相切

Answer 1

分析：連結OA、OB，根據切線的性質和l₁∥l₂得到AB為⊙O的直徑，則l₁和l₂的距離為2；當MN與⊙O相切，連結OM，ON，當MN在AB左側時，根據切線長定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定義可計算出AM=

3

，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可計算出BN=

3

3

，當MN在AB右側時，AM=

3

3

，所以AM的長為

3

或

3

3

；當∠MON=90°時，作OE⊥MN于E，延長NO交l₁于F，易證得Rt△OAF≌Rt△OBN，則OF=ON，于是可判斷MO垂直平分NF，
所以OM平分∠NOF，根據角平分線的性質得OE=OA，然后根據切線的判定定理得到MN為⊙O的切線．

解答：解：連結OA、OB，如圖1，
∵⊙O與l₁和l₂分別相切于點A和點B，
∴OA⊥l₁，OB⊥l₂，
∵l₁∥l₂，
∴點A、O、B共線，
∴AB為⊙O的直徑，
∴l₁和l₂的距離為2；
作NH⊥AM于H，如圖1，
則MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=

NH

MN

，
∴MN=

2

3 2

=

4 3

3

；
當MN與⊙O相切，如圖2，連結OM，ON，
當MN在AB左側時，∠AMO=∠AMN=

1

2

×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=

OA

AM

，即AM=

1

3 3

=

3

，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=

OB

BN

，即BN=

1

3

=

3

3

，
當MN在AB右側時，AM=

3

3

，
∴AM的長為

3

或

3

3

；
當∠MON=90°時，作OE⊥MN于E，延長NO交l₁于F，如圖2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NOF，
∴OE=OA，
∴MN為⊙O的切線．
故選B．

點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于經過切點的半徑．