Question

【題目】如圖，在ABCD中，按下列步驟作圖：

①以點B為圓心，以適當長為半徑作弧，交AB于點M．交BC于點N；

②再分別以點M和點N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于點G；

③作射線BG交AD于F；

④過點A作AE⊥BF交BF于點P，交BC于點E；

⑤連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質和平行四邊形的性質即可得到結論；

（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，從而得到PH，DH＝5，然后利用勾股定理求解即可．

解：（1）證明：由作圖知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EBF＝∠AFB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF＝BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

又AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，

∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，

∴APAB＝2，

∴PH，DH＝5，

∴DP2．