Question

【題目】如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，點(diǎn)D在CE上，AF⊥CB，垂足為F.

(1)若AC＝10，求四邊形ABCD的面積；

(2)求證：CE＝2AF.

Answer 1

【答案】(1) 50；(2)證明見解析.

【解析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根據(jù)SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為點(diǎn)G，求出AF=AG，進(jìn)而求出CG=AG=GE，即可得出答案．

(1)∵∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，

∴∠BAC＝∠EAD.

在△ABC和△ADE中，

AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，

∴△ABC≌△ADE(SAS)．

∴S△ABC＝S△ADE，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ADE＋S△ACD

＝S△ACE＝AC·AE＝×102＝50.

(2)∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE＝∠AEC＝45°.由(1)知△ABC≌△ADE，

∴∠ACB＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝∠ACE，∴CA平分∠ECF.

過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為點(diǎn)G.

∵AF⊥CB，∴AF＝AG.又∵AC＝AE，

∴∠CAG＝∠EAG＝45°，

∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC，

∴CG＝AG＝GE，

∴CE＝2AG＝2AF.