【題目】在直角坐標系中，已知拋物線
(a＜0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側)，與y軸負半軸交于點C，頂點為D，已知
：S四邊形ACBD=1：4．
（1）求點D的坐標(用僅含c的代數式表示)；
（2）若tan∠ACB=
，求拋物線的解析式．
【答案】（1）D(2，
)；（2）拋物線的解析式為：
，或
，或
.
【解析】
（1）直接代入頂點坐標公式化簡即可；
（2）先由
：S四邊形ACBD=1：4，得到等底三角形的面積之比：
=1：3，而求出
，解析式化為
，求得A（1,0），B（3,0），過點B作
的延長線于點H，得到
∽
，依據相似的性質、銳角三角函數，用c表示AH、BH，最后在三角形ABH中依據勾股定理求出c，即可得到解析式.
解：（1）拋物線
的頂點D的坐標為
，
∴頂點D的坐標為(2，)；
（2）∵與y軸負半軸交于點C，
∴C(0，c)，
，
過點D作
軸于點G，則
∵：S四邊形ACBD=1：4,
∴：=1：3,
則
，即
，
∴，
∴拋物線的解析式為：或
，=
，
，
∴令=0，解得
∴A（1,0），B（3,0），
,
過點B作的延長線于點H，
∴
(對頂角相等)，
∴∽，tan∠ACB=
=
，
,
∴
,即
，
∴
，
∴
,
∴
,
∴
,
∴
=0，（
）
∴
-1或-3或-2+
（舍）或-2-，
∴拋物線的解析式為：，或，或.
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【題目】拋物線
（
為常數）與
軸交于點
和
與
軸交于點
，點
為拋物線頂點．
（Ⅰ）當
時，求點，點的坐標；
（Ⅱ）①若頂點在直線
上時，用含有
的代數式表示
；
②在①的前提下，當點的位置最高時，求拋物線的解析式；
（Ⅲ）若
，當
滿足
值最小時，求的值．
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【題目】在正方形
中，
、
分別為
、
的中點，連接
、
，和交于點
．
（1）如圖1，求證：
；
（2）如圖2，作
關于對稱的圖形
，連接
，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于正方形面積的
．
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【題目】如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．
（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；
（2）連接BD分別交AE、AF于點M、N，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使AB與AD重合，得到△ADH，試判斷線段MN、ND、DH之間的數量關系，并說明理由．
（3）若EG=2，GF=3，BM=2，求AG、MN的長．
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【題目】如圖，二次函數
的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為
，頂點C的坐標為
．
求二次函數的解析式和直線BD的解析式；
點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使
中BD邊上的高為
？若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．
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【題目】在平面直角坐標系
中（如圖），已知拋物線
經過點
，與
軸交于點
，，拋物線的頂點為點
，對稱軸與
軸交于點
.
（1）求拋物線的表達式及點的坐標；
（2）點
是軸正半軸上的一點，如果
，求點的坐標；
（3）在（2）的條件下，點
是位于軸左側拋物線上的一點，如果
是以
為直角邊的直角三角形，求點的坐標.
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【題目】如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為矩形；
（2）在BC上截取CF＝CO，連接OF，若AC＝16，BD＝12，求四邊形OFCD的面積．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形
的頂點
，動點
，
同時從
點出發，點沿射線
方向以每秒
個單位的速度運動，點沿線段
方向以每秒
個單位的速度運動，當點到達點
時，點，同時停止運動，連接
，設運動時間為
（秒）．
（1）求證
；
（2）當點運動到點
時，若雙曲線
的圖象恰好過點，試求
的值；
（3)連接
，當為何值時，
為等腰三角形．
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