Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．

（1）求a的值和直線AB的函數表達式；

（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若，求m的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接AE′、BE′，求AE′+BE′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）a=-，y=-x+3;(2)2；（3）.

【解析】

令y＝0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據待定系數法可以確定直線AB解析式.

由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解決問題.

在y軸上，取一點M使得OM＝，構造相似三角形，可以證明AM就是E′A＋E′B的最小值.

將A（4,0）代入拋物線解析式得，a＝-，拋物線解析式為-

當x=0時，y=3，所以B（0,3），設直線解析式為y=kx+b，將A，B點的坐標代入得

解得

y＝-

（2）因為E（m，0）（0＜m＜4），

OE＝m、AE＝4－m、PE＝-m2＋m＋3，①

由平行，可證 △AEN ∽△AOB，

因其對應邊成比例，得

AN＝(4－m)，NE＝(4－m)，

由兩角相等，可證 △AEN∽△PMN，

又＝，得

＝

PN＝(4－m)

PE＝PN+NE＝ (4－m) ②，

由①②得m＝2或m＝-4(負不合，舍）

所以m＝2.

（3）由m＝2得E（2，0），OE＝OE′＝2.

在y軸上取F，使＝，

（此處可得OF＝，勾股定理得AF＝ )

又＝，

且∠FOE′=∠E′OB，

∴△FOE′∽△E′OB，

∴＝

FE′＝E′B，

E′A+E′B=E′A+FE′≥AF=

最小值為 .