Question

【題目】如圖，在中，，，．點從點出發，以每秒3個單位長度的速度向終點運動，過點作交邊或邊于點，點是射線邊上一點，總保持，以、為鄰邊構造矩形，設矩形與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為．

（1）用含的式子表示線段的長；

（2）當點落在上時，求的值；

（3）當矩形與重疊部分圖形為四邊形時，求與之間的函數關系式；

（4）點與點同時出發，在線段上以每秒5個單位長度的速度沿往返一次，連結、，直接寫出矩形的面積是的面積的2倍時的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，；當時，；（4），，．

【解析】

（1）由題意可知：，PB=3t，據此解答即可；

（2）先根據勾股定理求出AC的長，當點落在上時，如圖1，在Rt△DPB中先利用∠A的正切用含t的代數式表示出DP，即為EF，再在Rt△AEF中利用三角函數的知識用含t的關系式表示出AE，由AE+EP+PB=5可得關于t的方程，解方程即得結果；

（3）當時，根據（2）題的結果利用三角形的面積公式直接解答即可；當C、D重合時，如圖2，當A、E兩點重合時，如圖3，分別求出這兩種情況t的值，進而可得矩形與重疊部分圖形為四邊形時t的范圍，再結合圖4利用三角函數的知識用含t的代數式表示出DP和RE，然后根據梯形的面積公式解答即可；

（4）分H、D重合之前，如圖5；H、D重合以后，D、H仍在BC邊上，如圖6；點D在AC邊上、點H在BC邊上，如圖7共三種情況，先利用三角函數的知識用含t的代數式表示出DP邊上的高HT的長，再根據矩形的面積是的面積的2倍即可列出關于t的方程，解方程即可求得結果．

解：（1）∵，PB=3t，

∴；

（2）在中，∵，，，∴，

當點落在邊上時，如圖1，在Rt△DPB中，，

∵四邊形是矩形，∴EF=DP，

在Rt△AEF中，，

∵AE+EP+PB=5，

∴，解得：；

（3）當時，重合部分為四邊形，由（2）題知：；

當C、D重合時，如圖2，此時重合部分為四邊形，，即，解得：，

當A、E兩點重合時，如圖3，此時重合部分為三角形，AP=，由AP+BP=5，得，解得：，

∴當時，如圖4，，

∴；

∴當時，，當時，；

（4）①當H、D重合之前，由題意知CH=5t，，∴，

于是當時，過點H作HT⊥PD交PD延長線于點T，如圖5，則，

若矩形的面積是的面積的2倍，則，

解得：，或t=0（舍去）；

②當H、D重合以后，D、H仍在BC邊上，如圖6，此時，，

若矩形的面積是的面積的2倍，則，

解得：，或t=0（舍去）；

③當點D在AC邊上、點H在BC邊上時，即，如圖7，作HK⊥AB于點K，則，，

若矩形的面積是的面積的2倍，則，

即，解得：．

綜上所述：若矩形的面積是的面積的2倍，t=或或．