Question

【題目】如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， C 是的中點， CE ⊥ AB 于 E ， BD 交 CE 于 F ．

（1）求證： CF=BF ；

（2）若 CD=6 ，AC=8 ，求 BE 、 CF 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3.6 ，

【解析】

（1）延長CE交⊙O于點 P，根據垂徑定理得出及圓周角定理得出 ∠BCP=∠BDC ，又由C 是的中點，得∠BDC=∠CBD ，進而得出∠CBD=∠BCP ，從而得出結論；

（2）根據圓周角定理及勾股定理得出 AB 的長，再由直角三角形相似，推出對應邊成比例，得出 BE 及 CE 的長，設 CF=x ，則 FE=4.8﹣x ， BF=x ，根據勾股定理得出方程求解即可．

（1）證明：延長 CE 交 ⊙ O 于點 P ，

∵ CE ⊥ AB ，∴，

∴∠ BCP= ∠ BDC ，

∵ C 是的中點，

∴ CD=CB ，

∴∠ BDC= ∠ CBD ，

∴∠ CBD= ∠ BCP ，

∴ CF=BF ；

（2） ∵ CD=6 ， AC=8 ，

∴ AB=10 ，

∵CF⊥AB,AC⊥BC, ∠CBA=∠EBC

∴△CBA∽△EBC

∴

∴ BE= =3.6 ，

同理

∴

∴

設 CF=x ，則 FE=4.8- x ， BF=x ，

∵EF2+BE2=BF2

∴ (4.8﹣x)2 +3.62 =x2 ，

∴ x=

∴ CF=．