Question

【題目】如圖1，拋物線經過、兩點，與x軸交于另一點B．

求拋物線的解析式；

已知點在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；

如圖2，若拋物線的對稱軸為拋物線頂點與直線BC相交于點F，M為直線BC上的任意一點，過點M作交拋物線于點N，以E，F，M，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點D關于直線BC對稱的點的坐標為；（3）存在，點N坐標為或或

【解析】

根據拋物線經過、兩點，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值，得出解析式；

把點D坐標代入拋物線的解析式中求出m的值，然后得出是等腰直角三角形，然后依據平行的性質得出答案；

首先求出EF的長，設，則，利用平行四邊形對邊平行且相等列出x的一元二次方程，解方程求出x的值即可．

由題意，將、兩點代入拋物線解析式，

得，

解得，

拋物線的解析式：；

點在第一象限的拋物線上，

把D的坐標代入中的解析式得，

或舍，

，

，

，令，

解得或，

，

，

是等腰直角三角形，

，

設點D關于直線BC的對稱點為點P，

，

，且，

，

點在y軸上，且，

，

，

即點D關于直線BC對稱的點的坐標為；

存在；

∵拋物線，

∴拋物線的頂點坐標，

設直線BC的解析式為y=kx+b,

把，代入解析式得，

解得，b=4，k=-1，

所以，直線BC的解析式為；

當時，，

∴，

，

如圖2，過點M作，交直線BC于M，

設，則，

，

當EF與NM平行且相等時，四邊形EFMN是平行四邊形，

，

由時，解得，不合題意，舍去

當時，，

，

當時，解得，

當時，，

，

當時，，

，

綜上所述，點N坐標為或或