Question

【題目】如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=,求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=；.

【解析】（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．

（1）證明：連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：過點C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，

∴sin∠1=，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=ABsin∠1=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，

∴sin∠2===，cos∠2===，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3，

∵GC∥BF，

∴△AGC∽△ABF，

∴=．

∴BF==．