Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線過三點，點A的坐標是，點C的坐標是，動點P在拋物線上．

（1）b=___，c=____，點B的坐標為______；

（2）是否存在點P，使得是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析，P的坐標是或；（3）（，）或（，）．

【解析】

（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點B的坐標；
（2）分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可；

（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標．

解：（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得：b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3．
∵令x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3．
∴點B的坐標為（-1，0）．
故答案為：-2；-3；（-1，0）．
（2）存在．
理由：如圖所示：

①當∠ACP1=90°．
由（1）可知點A的坐標為（3，0）．
設AC的解析式為y=kx-3．
∵將點A的坐標代入得3k-3=0，解得k=1，
∴直線AC的解析式為y=x-3．
∴直線CP1的解析式為y=-x-3．
∵將y=-x-3與y=x2-2x-3聯立解得x1=1，x2=0（舍去），
∴點P1的坐標為（1，-4）．
②當∠P2AC=90°時．
設AP2的解析式為y=-x+b．
∵將x=3，y=0代入得：-3+b=0，解得b=3．
∴直線AP2的解析式為y=-x+3．
∵將y=-x+3與y=x2-2x-3聯立解得x1=-2，x2=3（舍去），
∴點P2的坐標為（-2，5）．
綜上所述，P的坐標是（1，-4）或（-2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．
根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中點．
又∵DF∥OC，
∴DF＝．
∴點P的縱坐標是．
∴x22x3＝，解得：x＝ ．
∴當EF最短時，點P的坐標是：（，）或（，）．