Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸分別交于原點(diǎn)和點(diǎn)，與對(duì)稱軸交于點(diǎn).矩形的邊在軸正半軸上，且，邊，與拋物線分別交于點(diǎn)，.當(dāng)矩形沿軸正方向平移，點(diǎn)，位于對(duì)稱軸的同側(cè)時(shí)，連接，此時(shí)，四邊形的面積記為；點(diǎn)，位于對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，連接，，此時(shí)五邊形的面積記為.將點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置作為矩形平移的起點(diǎn)，設(shè)矩形平移的長(zhǎng)度為.

（1）求出這條拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)矩形沿著軸的正方向平移時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x．（2）．（3）S=-t2+t-，當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值是．

【解析】分析: （1）根據(jù)點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）找出當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)B、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OB、BN的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式可求出S△OBN的值；

（3）分0＜t≤4和4＜t≤5兩種情況考慮：①當(dāng)0＜t≤4時(shí)（圖1），找出點(diǎn)A、B、M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AM、BN的長(zhǎng)度，利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值；②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，找出點(diǎn)A、B、M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AM、BN的長(zhǎng)度，將五邊形分成兩個(gè)梯形，利用梯形的面積公式即可找出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值．將①②中的S的最大值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.

詳解:

（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x．

（2）當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，），

∴BN=，OB=1，

∴S△OBN=BNOB=．

（3）①當(dāng)0＜t≤4時(shí)（圖1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+1，0），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，-t2+2t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）AB=×1×[-t2+2t-（t+1）2+2（t+1）]，

=-t2+t+，

=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)t=4時(shí)，S取最大值，最大值為；

②當(dāng)4＜t≤5時(shí)（圖2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t+1，0），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，-t2+2t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5-t）（-t2+2t+5）+（t-4）[5-（t+1）2+2（t+1）]，

=（t3-3t2+5t+25）+（-t3+t2+t-），

=-t2+t-，

=-（t-）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)t=時(shí)，S取最大值，最大值為．

∵=＜，

∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值是．