Question

【題目】如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們容易證明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？

嘗試探究：（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC+∠ECB　　∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）

初步應用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2－∠C＝　　　　　．

解決問題：（3）如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案　　　　　　．

（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請利用上面的結論探究∠P與∠A、∠D的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）45°；（3）∠P=90°－∠A；（4）∠P=180°－∠A－∠D

【解析】

（1）根據三角形外角的性質可得∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC，然后求和并根據三角形的內角和定理即可得出結論；

（2）根據（1）的結論即可求出∠2－∠C；

（3）根據（1）的結論可得∠DBC+∠ECB=∠A+180°，然后根據角平分線的定義計算出∠CBP＋∠BCP，再根據三角形的內角和定理即可得出結論；

（4）根據四邊形的內角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D，然后根據平角的定義可推出∠EBC＋∠FCB=∠A＋∠D，然后根據角平分線的定義和三角形的內角和定理即可得出結論．

解：（1）∵∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角

∴∠DBC=∠A＋∠ACB，∠ECB=∠A＋∠ABC

∴∠DBC+∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC=∠A＋（∠ACB＋∠A＋∠ABC）=∠A+180°

故答案為：=；

（2）由（1）的結論可知：∠1＋∠2=∠C＋180°

∵∠1＝135°

∴∠2－∠C＝180°－∠1=45°

故答案為：45°

（3）由（1）的結論可知：∠DBC+∠ECB=∠A+180°

∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB

∴∠CBP＋∠BCP

=∠DBC＋∠ECB

=（∠DBC＋∠ECB）

=（∠A+180°）

=∠A＋90°

∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°

∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）

=180°－（∠A＋90°）

=90°－∠A

故答案為：∠P=90°－∠A

（4）根據四邊形的內角和可得∠ABC＋∠DCB=360°－∠A－∠D

∵∠EBC=180°－∠ABC，∠FCB=180°－∠DCB

∴∠EBC＋∠FCB

=180°－∠ABC＋180°－∠DCB

=360°－（∠ABC＋∠DCB）

=360°－（360°－∠A－∠D）

=∠A＋∠D

∵BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，

∴∠CBP=∠EBC，∠BCP=∠FCB

∴∠CBP＋∠BCP

=∠EBC＋∠FCB

=（∠EBC＋∠FCB）

=（∠A＋∠D）

∵∠CBP＋∠BCP＋∠P=180°

∴∠P=180°－（∠CBP＋∠BCP）

=180°－（∠A＋∠D）

=180°－∠A－∠D