Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點，．

（1）求的值，并將拋物線解析式化成頂點式；

（2）已知點，點為拋物線上一動點．求證：以為圓心，為半徑的圓與直線相切；

（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一動點，作直線，與拋物線交于點．當時，請直接寫出直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）利用待定系數法可求出b、c的值，再將拋物線的解析式化為頂點式即可；

（2）如圖（見解析），由（1）可設點A的坐標為，再根據兩點之間的距離公式可得，然后根據圓的切線的判定定理即可得證；

（3）如圖（見解析），先根據正弦三角函數求出，從而可得，再利用正切三角函數可求出點H的坐標，然后利用待定系數法即可得；由根據二次函數的對稱性可得點B關于二次函數對稱軸的對稱點也滿足題設條件，利用同樣的方法求解即可得另一條符合要求的直線BF的解析式．

（1）由題意，將點，代入拋物線解析式得：

解得：

則；

（2）過點作垂直于直線，垂足

設點A的坐標為

則

∴，即

∴是圓A的半徑

∴以為圓心，為半徑的圓與直線相切；

（3）如圖，過點、分別作直線的垂線，垂足分別為、，過點作于點，則四邊形CEDP是矩形

，軸

設，則

同（2）可得：，

∴，

在中，

∴

設直線BF與x軸的交點為點，過點F作軸于點N

則點N的坐標為，，

軸

在中，，即

解得，即點H的坐標為

設直線BF的解析式為

將點、代入得：，解得

則此時直線的解析式為

二次函數的對稱軸為

點在這個二次函數的對稱軸上

則由二次函數的對稱性可知，圖中點B關于對稱軸為的對稱點也一定在拋物線上，且滿足

同理可得：此時點H的坐標為

設直線BF的解析式為

將點、代入得：，解得

則此時直線的解析式為

綜上，直線的解析式為或．