Question

【題目】教材呈現：如圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容．

例2 如圖，在中，分別是邊的中點，相交于點，求證：，

證明：連結．

請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程．

結論應用：在中，對角線交于點，為邊的中點，、交于點．

（1）如圖②，若為正方形，且，則的長為　 　．

（2）如圖③，連結交于點，若四邊形的面積為，則的面積為　 　．

Answer 1

【答案】教材呈現：詳見解析；結論應用：（1）；（2）6．

【解析】

教材呈現：如圖①，連結．根據三角形中位線定理可得，，那么，由相似三角形對應邊成比例以及比例的性質即可證明；

結論應用：（1）如圖②．先證明，得出，那么，又，可得，由正方形的性質求出，即可求出；

（2）如圖③，連接．由（1）易證．根據同高的兩個三角形面積之比等于底邊之比得出與的面積比，同理，與的面積比＝2，那么的面積的面積＝2（的面積的面積）＝，所以的面積，進而求出的面積．

教材呈現：

證明：

如圖①，連結．

∵在中，分別是邊的中點，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

結論應用：

（1）解：如圖②．

∵四邊形為正方形，為邊的中點，對角線、交于點，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵正方形中，，

∴，

∴．

故答案為；

（2）解：如圖③，連接．

由（1）知，，

∴．

∵與的高相同，

∴與的面積比，

同理，與的面積比＝2，

∴的面積的面積＝2（的面積的面積），

∴的面積，

∴的面積．

故答案為6．