Question

【題目】如圖，在ABC中，AB＝BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為點E．

（1）試證明DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為5，AC＝6，求此時DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）連接OD、BD，求出BD⊥AD，AD=DC，根據三角形的中位線得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的長，證得Rt△CDE和Rt△ABD，利用對應邊成比例即可求解．

（1）證明：連接OD，BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴BD⊥AD，

又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，

∴AD=DC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

又DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）由（1）知，BD是AC邊上的中線，AC=6，

得AD=CD=3，

∵⊙O的半徑為5，

∴AB=10，

在Rt△ABD中，BD=，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

在Rt△CDE和Rt△ABD中，

∵∠DEC=∠ADB=90°，∠C=∠A，

∴Rt△CDE∽Rt△ABD，

∴，即，

解得：DE=3．