Question

如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G，AC交BG于點H，連接OG，下列結論：①OG∥AD；②△CHE為等腰三角形；③BH=GH；④tan∠F=2；⑤S_△BCE：S_△BDE=1：

2

其中正確的結論有（　　）

• A、①②⑤
• B、①②③
• C、②③④
• D、②④⑤

Answer 1

分析：正方形的四個邊相等，四個角都是直角，根據這可以證明三角形全等，進而證明相似，得到解，也可以用正方形的性質，求角的度數邊的長，進而求出三角函數和面積從而得到解．

解答：解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGB=∠BCE=90°，
∴BG垂直且平分DF，
∵O是BD的中點，
∴OG∥BF，
∴OG∥AD．
所以①選項正確．
∵正方形ABCD，
∴∠DBC=45°，∠BOC=90°，∠BCD=90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠OBH=∠CBH=22.5°，
∴∠EHC=∠OHB=180°-90°-22.5°=67.5°，
∠BEC=180°-90°-22.5°=67.5°=∠EHC，
∴CH=CE，∴②正確；
∵OB≠BC，
∴OH≠CH，
∵OG∥BC，
∴BH≠GH，∴③錯誤；
∵tan∠F=

CD

CF

，CD≠2CF，
∴tan∠F≠2，∴④錯誤；
∵∠DBH=∠HBC，
∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，
∴

BC

BD

=cos45°=

2

2

，
∴

BD

BC

=

DE

CE

=

2

1

，
∵△BDE和△BCE的高都是BC，
∴S_△BCE：S_△BDE=（

1

2

BC×CE）：（

1

2

BC×DE）=1：

2

，∴⑤正確；
故選A．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，以及三角函數的定義，三角形的面積等，但本題是個選擇題，考試時可用排除法很快得到答案．