Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，點P是線段AC上一動點（點P不與A，C重合），連接BP，過點A作直線BP的垂線段，垂足為點D，將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，連接DE，CE．

（1）求證：BD＝CE；

（2）延長ED交BC于點F，求證：F為BC的中點；

（3）在（2）的條件下，若△ABC的邊長為1，直接寫出EF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1

【解析】

（1）由等邊三角形的性質和旋轉的性質可得∠DAB＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，即可證△ADB≌△AEC，可得BD＝CE；

（2）過點C作CG//BP，交EF的延長線于點G，由等邊三角形的性質和全等三角形的性質可得CG＝BD，∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，可證△BFD≌△CFG，可得結論；

（3）由題意可證點A，點F，點C，點E四點在以AC為直徑的圓上，由直徑是圓的最大弦可得EF的最大值．

證明：（1）∵將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE

∴AD＝AE,∠DAE＝60°

∴△ADE是等邊三角形

∵△ABC為等邊三角形

∴AB＝AC, ∠BAC＝∠DAE＝60°

∴∠DAB＝∠CAE,且AB＝AC,AD＝AE

∴△ADB≌△AEC（SAS）

∴BD＝CE

（2）如圖,過點C作CG∥BP,交EF的延長線于點G

∵∠ADB＝90°, ∠ADE＝60°

∴∠BDG＝30°

∵CG∥BP

∴∠G＝∠BDG＝30°

∵△ADB≌△AEC

∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°

∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°

∴∠G＝∠GEC＝30°

∴GC＝CE

∴CG＝BD,且∠BDG＝∠G, ∠BFD＝∠GFC

∴△BFD≌△CFG（AAS）

∴BF＝FC

∴點F是BC中點

（3）如圖，連接AF，

∵△ABC是等邊三角形,BF＝FC

∴AF⊥BC

∴∠AFC＝90°

∴∠AFC＝∠AEC＝90°

∴點A,點F,點C,點E四點在以AC為直徑的圓上

∴EF最大為直徑，

即最大值為1