Question

（2013•晉江市質檢）如圖，直線y=-x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

上的一點，射線PM⊥x軸于點M，交直線AB于點E，射線PN⊥y軸于點N，交直線AB于點F．
（1）直接寫出點E與點F的坐標（用含a、b的代數式表示）；
（2）當x＞0，且直線AB與線段PN、線段PM都有交點時，設經過E、P、F三點的圓與線段OE相交于點T，連結FT，求證：以點F為圓心，以FT的長為半徑的⊙F與OE相切；
（3）①當點P在雙曲線第一象限的圖象上移動時，求∠EOF的度數；
②當點P在雙曲線第三象限的圖象上移動時，請直接寫出∠EOF的度數．

Answer 1

分析：（1）點E和點P的橫坐標相等，點F和點P的縱坐標相等，代入直線解析式，可得出點E與點F的坐標；
（2）根據圓周角定理可得∠FTE=90°，結合FT是⊙F的直徑，可判斷出結論；
（3）①根據（1）所求的坐標，表示出PF、PE，利用勾股定理求出EF、OE、BE，及EF×BE的值，結合點P（a，b）在反比例函數上，可得2ab=1，繼而可推出EF•BE=OE²，證明△OEF∽△BEO，即可得出∠EOF的度數．
②根據①相似三角形判定的過程，可證明△OE'F'∽△BE'O，繼而可得出此時∠EOF的度數．

解答：解：（1）E（a，1-a），F（1-b，b）．

（2）∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴四邊形NOMP是矩形，
∴∠P=90°，
∴EF是⊙Q的直徑．（不妨設經過E、P、F三點的圓為⊙Q），
∴∠FTE=90°，
∴FT⊥OE，
又∵OE經過半徑FT的外端T，
∴OE是⊙F的切線．

（3）①由直線y=-x+1可求得：B（0，1），A（1，0），即△ABO是等腰直角三角形，如圖所示，
由（1）得：E（a，1-a），F（1-b，b），
則PF=PN-FN=a-（1-b）=a+b-1，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF=

(a+b-1)2+(a+b-1)2

=

2

(a+b-1)，
同理可得：OE=

a2+(1-a)2

=

2a2-2a+1

，BE=

a2+[1-(1-a)]2

=

2

a，
∴OE²=2a²-2a+1，EF•BE=

2

(a+b-1)•

2

a=2a2+2ab-2a，
∵P（a，b）在反比例函數圖象上，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴EF•BE=

2

(a+b-1)•

2

a=2a2+1-2a，
∴EF•BE=OE²，即

OE

EF

=

BE

OE

，
又∵∠OEF=∠BEO，
∴△OEF∽△BEO．
∴∠EOF=∠ABO=45°，
綜上可得：∠EOF的度數是45°．
②如圖所示：根據①的證明過程可得：△OE'F'∽△BE'O，
故可得∠E'OF'=∠E'BO=180°-∠ABO=135°，
故當點P在雙曲線第三象限的圖象上移動時∠EOF的度數是135°．

點評：此題考查了反比例函數的綜合題，融合了矩形、等腰直角三角形、三角形面積的求法、兩點間的距離公式、相似三角形的判定和性質等重要知識，難點在于第三問，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關鍵．