Question

如圖，△ABC是銳角三角形，BC=120，高AD=80，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，M、Q在BC上，AD與PN交于點E，請問矩形PQMN的面積什么時候最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：設(shè)長方形零件PQMN的邊AE=x，矩形PQMN的面積為S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．

解答：解：∵四邊形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形PQDE是矩形，∠AEN=90°，
∴

AE

AD

=

PN

BC

，PQ=DE，
設(shè)AE=x，矩形PQMN的面積為S，
則

x

80

=

PN

120

，DE=80-x，
∴PN=

3

2

x，PQ=80-x，
∴S=

3

2

x(80-x)=-

3

2

(x-40)2+2400，
∴當(dāng)x=40時，S的最大值為2400，
∴當(dāng)AE=40時，矩形PQMN的面積最大，最大面積是2400．

點評：本題用二次函數(shù)的方法解決面積問題，是函數(shù)性質(zhì)的實際運用，需要從計算矩形面積著手，求矩形的長、寬，同時考查了拼接問題，需要從圖形的特殊性著手．