Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP= ．

（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；
（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A，C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）若△AME∽△ENB，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，

∴AC= = =40，

∵CP⊥AB，

∴ = ，

∴ = ，

∴CP=24，

∴CM= = =26

（2）

解：∵sin∠EMP= ，

∴設EP=12a，

則EM=13a，PM=5a，

∵EM=EN，

∴EN=13a，PN=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴ ，

∴ =

∴x=16a，

∴a= ，

∴BP=50﹣16a，

∴y=50﹣21a，

=50﹣21× ，

=50﹣ x，

∵當E點與A點重合時，x=0．當E點與C點重合時，x=32．

∴函數的定義域是：（0＜x＜32）

（3）

解：①當點E在AC上時，如圖2，

設EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴AP=16a，

∴AM=11a，

∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a，

∵△AME∽△ENB，

∴ =

∴ = ，

∴a= ，

∴AP=16× =22，

②當點E在BC上時，如圖（備用圖），設EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，

∵△EBP∽△ABC，

∴ = ，

即 = ，

解得BP=9a，

∴BN=9a﹣5a=4a，AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a，

∵△AME∽△ENB，

∴ = ，

即 = ，

解得a= ，

∴AP=50﹣9a=50﹣9× =42．

所以AP的長為：22或42．

【解析】（（1）本題需先根據已知條件得出AC的值，再根據CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值．（2）本題需先根據EN，根據sin∠EMP= ，設出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出 = ，求出a的值，即可得出y關于x的函數關系式，并且能求出函數的定義域．（3）本題需先設EP的值，得出則EM和MP的值，然后分①點E在AC上時，根據△AEP∽△ABC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長；②點E在BC上時，根據△EBP∽△ABCC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應用的相關知識點，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能正確解答此題．