Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ，對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．
（1）證明：當∠AOF=90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉過程中，AF與CE總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時∠AOF度數．

Answer 1

【答案】
（1）當∠AOF=90°時，AB∥EF，

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形

（2）證明：∵四邊形ABEF是平行四邊形，

∴AO=CO，AF∥EC，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE，

∴AF=CE．

（3）解：結論：四邊形BEDF可能是菱形．

∵△AOF≌△COE，

∴OE=OF，

∴EF與BD互相平分，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF是菱形，

在Rt△ABC中，AC= =2，

∴OA=1=AB，

∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴當四邊形BEDF是菱形時，∠AOF=45°．

【解析】（1）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明．（2）只要證明△AOF≌△COE即可．（3）結論：四邊形BEDF可能是菱形．根據菱形的對角線互相垂直即可解決問題．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質和菱形的判定方法是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．