Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為第一象限拋物線上一點，連接、，設點的橫坐標為，的面積為，求與的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點為第四象限拋物線上一點，連接，過點作軸的垂線交于點，射線交第三象限拋物線于點，連接，若，，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）OB=2OC=4，則點B、C的坐標分別為(4,0)、(0,2)，將點B、C坐標代入函數表達式，即可求解；

（2）設PA交y軸于H，S△ACP=×CH×（xP-xA），先求出直線AP解析式，得出CH長，即可求解；

（3）當S=時，t2+t=得t=2，P(2,3)，作EF⊥x軸，QM⊥x軸，CR⊥PM，EN⊥QR，

tan∠EBF=，得DH=-m-1，∠QEB=2∠ABE，所以∠QEN=∠EBF，tan∠QEN=tan∠EBF，，得m=1-n，DK=-m+1，tan∠QCR=，，即可求解．

（1）∵OB=2OC=4，

∴點B、C的坐標分別為(4,0)、(0,2)，

將點B、C坐標代入函數表達式得：

解得

故函數的表達式為：

故答案為：

（2）設點P(t,t2+t+2)，如圖1，設PA交y軸于點H，

令

解得x=-1或x=4

∴A(-1,0)

設直線AP解析式為y=kx+b

解得k=(t4)，b=(t4)

∴直線AP解析式為：y=(t4)x(t4)

令x=0，y=(t4)

∴CH=2+(t4)=t，

S△ACP=×CH×(xPxA)=×t×(t+1)=t2+t，

（3）當S=時，t2+t=

得t=2，

∴P(2,3)，

如圖2，作EF⊥x軸，QM⊥x軸，CR⊥PM，EN⊥QR，

設E(m,m2+m+2)，Q(n,n2+n+2)，

∵tan∠EBF=，

∴

得DH=m1，

∵∠QEB=2∠ABE，

∴∠QEN=∠EBF

tan∠QEN=tan∠EBF， 即，

∴

得m=1n，

DK=m+1，tan∠QCR=

∴

解得：n=6，

故點Q(6,7)

故答案為：Q(6,7)