Question

【題目】已知：如圖①，在□ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM，

速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發，沿著CB方向勻速移動，速度為1cm/s；當△PNM停止平移時，

點Q也停止移動，如圖②.設移動時間為t (s)（0＜t＜4).連接PQ、MQ、MC.解答下列問題：

(1)當t為何值時，PQ∥MN？

(2)設△QMC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

(4)是否存在某一時刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；；S△QMC:；.

【解析】

試題分析：當PQ∥MN時，可得：，從而得到：，解方程求出的值；

作于點，則可以得到，根據相似三角形的性質可以求出，，利用三角形的面積公式求出與的關系式；

根據S△QMC:可以得到關于的方程，解方程求出的值；

作于點，于點，則△CPD∽△CBA，利用相似三角形的性質可以得到：，解方程求出的值.

試題解析：(1)如圖所示，

若PQ∥MN，則有，

∵，，，

∴，

即，

解得.

(2)如圖所示，

作于點，則△CPD∽△CBA，

∴,

∵，，，

∴，

∴

又∵，

∴△QMC的面積為：

(3)存在時，使得S△QMC:.

理由如下：

∵PM∥BC

∴

∵S△QMC:，

∴S△PQC: S△ABC=1:5，

∵

.∴

∴

∴

∴存在當時，S△QMC:；

(4)存在某一時刻，使.

理由如下：

如圖所示，

作于點，于點，則△CPD∽△CBA，

∴,

∵，，，，

∴，

∴，.

∵PQ⊥MQ，

∴△PDQ∽△QEM，

∴，

即

∵，

，

，

∴，

即，

∴，（舍去）

∴當時，使PQ⊥MQ.