Question

如圖，已知函數y=x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數y=kx+b的圖象經過點B（0，-1），并且與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點C、D．
（1）若點D的橫坐標為1，求四邊形AOCD的面積（即圖中陰影部分的面積）；
（2）在第（1）小題的條件下，在y軸上是否存在這樣的點P，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形．如果存在，求出點P坐標；如果不存在，說明理由．
（3）若一次函數y=kx+b的圖象與函數y=x+1的圖象的交點D始終在第一象限，則系數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）先求出點D的坐標，再求出BD的解析式，然后根據S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（2）分三種情況討論：①當DP=DB時，②當BP=DB時，③當PB=PD時；
（3）根據圖象即可得出答案．

解答：解：（1）∵點D的橫坐標為1，點D在y=x+1的圖象上，∴D（1，2），
∴直線BD的解析式為y=3x-1，∴A（0，1），C（

1

3

，0），
∴S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=

1

2

×1×1+

1

2

×

1

3

×2=

5

6

；
（2）①當DP=DB時，設P（0，y），
∵B（0，-1），D（1，2），
∴DP²=1²+（y-2）²=DB²=1²+（2+1）²，
∴P（0，5）；
②當BP=DB時，DB=

10

，∴P（0，-1-

10

）或P（0，

10

-1）；
③當PB=PD時，設P（0，a），則（a+1）²=1+（2-a）²，解得a=

2

3

，
∴P（0，

2

3

）；
（3）若一次函數y=kx+b的圖象與函數y=x+1的圖象的交點D始終在第一象限，則系數k的取值范圍是：k＞1．

點評：本題考查了一次函數綜合知識，難度適中，關鍵是掌握分類討論思想的運用．