Question

【題目】拋物線的對稱軸為直線，且頂點在軸上，與軸的交點為，點的坐標為，點在拋物線的對稱軸上，直線與直線相交于點．

（1）求該拋物線的函數表達式．

（2）點是（1）中圖象上的點，過點作軸的垂線與直線交于點．試判斷是否為等腰三角形，并說明理由．

（3）作于點，當點從橫坐標2013處運動到橫坐標2019處時，請求出點運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為；（2）是等腰三角形，理由見解析；（3）點的運動路徑長為3．

【解析】

（1）由題意可知拋物線的頂點坐標，進而可設拋物線的頂點表達式，再將點A坐標代入計算即可；

（2）設點的坐標為，則，利用勾股定理可求得PB長，再利用P、D坐標可求得PD長，進而證得是等腰三角形；

（3）設直線與軸的交點為，則，先證得是的中位線，進而可知點在軸上運動，再通過點P橫坐標的變化可求得CD的長度變化，進而求得點E的路徑長．

（1）根據題意得拋物線的頂點坐標為，

所以設拋物線的函數表達式為，

把點的坐標代入得：，解得，

∴拋物線的函數表達式為

（2）是等腰三角形；

理由：設點的坐標為，則點D坐標為，

∵點的坐標為，點B坐標為，

∴，

∵點的坐標為，點D坐標為，

∴，

∴，

∴是等腰三角形；

（3）如圖所示：

∵，，

∴，

即點E為BD中點，

設直線與軸的交點為，則，

∴，

∴點F為BC中點，

∴是的中位線，

∴，，

∴點在軸上運動，

∴當的橫坐標為2013時，，此時，

當的橫坐標為2019時，，此時，

∴點的運動路徑長為：．