Question

閱讀下列材料：
我們知道|x|的幾何意義是在數軸上數x對應的點與原點的距離；即|x|=|x-0|，也就是說，|x|表示在數軸上數x與數0對應點之間的距離；

這個結論可以推廣為|x₁-x₂|表示在數軸上數x₁，x₂對應點之間的距離；
在解題中，我們會常常運用絕對值的幾何意義：
例1：解方程|x|=2．容易得出，在數軸上與原點距離為2的點對應的數為±2，即該方程的x=±2；
例2：解不等式|x-1|＞2．如圖，在數軸上找出|x-1|=2的解，即到1的距離為2的點對應的數為-1，3，則|x-1|＞2的解為x＜-1或x＞3；
例3：解方程|x-1|+|x+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1和-2的距離之和為5的點對應的x的值．在數軸上，1和-2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或-2的左邊．若x對應點在1的右邊，如圖可以看出x=2；同理，若x對應點在-2的左邊，可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=-3．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程|x+3|=4的解為______；
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|-|x+4|≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）根據絕對值得意義，方程|x+3|=4表示求在數軸上與-3的距離為4的點對應的x的值為1或-7．

（2）∵3和-4的距離為7，
因此，滿足不等式的解對應的點3與-4的兩側．
當x在3的右邊時，如圖，

易知x≥4．
當x在-4的左邊時，如圖，

易知x≤-5．
∴原不等式的解為x≥4或x≤-5

（3）原問題轉化為：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．
當x≥3時，|x-3|-|x+4|應該恒等于-7，
當-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1隨x的增大而減小，
當x≤-4時，|x-3|-|x+4|=7，
即|x-3|-|x+4|的最大值為7．
故a≥7．
分析：仔細閱讀材料，根據絕對值的意義，畫出圖形，來解答．
點評：本題是一道材料分析題，通過閱讀材料，同學們應當深刻理解絕對值得幾何意義，結合數軸，通過數形結合對材料進行分析來解答題目．由于信息量較大，同學們不要產生畏懼心理．