Question

【題目】已知直線y＝kx+b經過點A（0，2），B（﹣4，0）和拋物線y＝x2．

（1）求直線的解析式；

（2）將拋物線y＝x2沿著x軸向右平移，平移后的拋物線對稱軸左側部分與y軸交于點C，對稱軸右側部分拋物線與直線y＝kx+b交于點D，連接CD，當CD∥x軸時，求平移后得到的拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，平移后得到的拋物線的對稱軸與x軸交于點E，P為該拋物線上一動點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，是否存在這樣的點P，使以點E，P，Q為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）y＝x2﹣4x+4；（3）（，），（，），（0，4）或（4，4）．

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；

（2）設平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2（m＞0），則平移后拋物線的對稱軸為直線x＝m，點C的坐標為（0，m2），由CD∥x軸，可得出點C，D關于直線x＝m對稱，進而可得出點D的坐標，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可得出關于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（3）設點P的坐標為（a，a2﹣4a+4），則PQ＝|a﹣2|，EQ＝a2﹣4a+4，由∠PQE＝90°可得出△EQP∽△AOB或△PQE∽△AOB，①當△EQP∽△AOB時，利用相似三角形的性質可得出關于a的方程，解之即可得出a值，將其代入點P的坐標即可得出結論；②當△PQE∽△AOB時，利用相似三角形的性質可得出關于a的方程，解之即可得出a值，將其代入點P的坐標即可得出結論．綜上，此題得解．

解：（1）將A（0，2），B（﹣4，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB的解析式為y＝x+2．

（2）如圖1，設平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣m）2（m＞0），則平移后拋物線的對稱軸為直線x＝m，點C的坐標為（0，m2）．

∵CD∥x軸，

∴點C，D關于直線x＝m對稱，

∴點D的坐標為（2m，m2）．

∵點D在直線y＝x+2上，

∴m2＝×2m+2，

解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝2，

∴平移后拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4．

（3）存在這樣的點P，使以點E，P，Q為頂點的三角形與△AOB相似．

設點P的坐標為（a，a2﹣4a+4），則PQ＝|a﹣2|，EQ＝a2﹣4a+4．

∵∠PQE＝90°，

∴分兩種情況考慮，如圖2所示．

①當△EQP∽△AOB時，，即，

化簡，得：|a﹣2|＝，

解得：a1＝，a2＝，

∴點P的坐標為（，）或（，）；

②當△PQE∽△AOB時，，即，

化簡，得：|a﹣2|＝2，

解得：a1＝0，a2＝4，

∴點P的坐標為（0，4）或（4，4）．

綜上所述：存在這樣的點P，使以點E，P，Q為頂點的三角形與△AOB相似，點P的坐標為（，），（，），（0，4）或（4，4）．