Question

“5.12”四川汶川8.0級特大地震牽動著億萬國人的心，眾志成城，抗震救災！災區人民在黨和各級政府的領導下，抓住農時投入了災后的生產．災區某生產隊想安排30個勞動力開墾75畝土地（每個人可參與多種土地的開墾），這些土地可以種蔬菜、水稻和地瓜，如果這些農作物所需的勞動力和預計的產值如下表：

農作物 勞動力和預計產值	蔬菜	水稻	地瓜
每畝所需的勞動力（人）	0.5	0.25	0.125
每畝預計的產值	100	60	45

（1）設種蔬菜x畝，水稻y畝，求y與x之間的函數關系式；
（2）請你為生產隊長設計一個能使所有土地都種上農作物，全部勞動力都有工作，而且農作物預計總產值達到最高的最佳生產方案；
（3）目前世界糧食緊缺，水稻需求量加大，若水稻預計產值每畝提高10元，其他數據不變，又如何安排生產方案才能達到總產值最高？

Answer 1

分析：（1）根據題意，種地瓜（75-x-y）畝，各種農作物所需勞動力之和為30人，得關系式；
（2）根據上面得到的關系分別表示各種農作物的產值，從而表示出總產值，運用函數性質，結合自變量的取值范圍解答；
（3）表示出調整后的關系式，運用函數性質，結合自變量的取值范圍解答．

解答：解：（1）∵種蔬菜x畝，水稻y畝∴種地瓜（75-x-y）畝，
∴

1

2

x+

1

4

y+

1

8

(75-x-y)=30，整理：y=-3x+165（2分）；

（2）設農作物總產值為w元，則w=100x+60y+45（75-x-y）=10x+5850（3分），
∵75-x-y=75-x-（-3x+165）=2x-90，
由題意：

x≥0 -3x+165≥0 2x-90≥0

，解得45≤x≤55（4分），
∵10＞0∴w隨x增大而增大，
∴當x=55時，w_最大值=6400（5分），
故最佳生產方案是安排種蔬菜55畝，地瓜20畝，可使總產值最高（6分）；

（3）為了滿足水稻需求量，盡量安排種水稻，在y=-3x+165中，
∵-3＜0，∴y隨x增大而減小∴當x=45時，y有最大值，（7分）
設此時總產值為w'，w'=100x+70y+45（75-x-y）=-20x+7500，（8分）
∵-20＜0，∴w′隨x增大而減小，（9分）
∴當x=45時，w'_大=6600綜上所述，此時最佳方案是種蔬菜45畝，水稻30畝時可滿足產值最高，且滿足水稻的需求．（10分）

點評：運用一次函數的性質求最值，確定自變量的取值范圍是關鍵．