Question

【題目】給定一個(gè)函數(shù)，如果這個(gè)函數(shù)的圖象上存在一個(gè)點(diǎn)，它的橫、縱坐標(biāo)相等，那么這個(gè)點(diǎn)叫做該函數(shù)的不變點(diǎn)．

（1）一次函數(shù)的不變點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

（2）二次函數(shù)的兩個(gè)不變點(diǎn)分別為點(diǎn)（在的左側(cè)），將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）已知二次函數(shù)的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為．

①求的值；

②如圖，設(shè)拋物線與線段圍成的封閉圖形記作．點(diǎn)為一次函數(shù)的不變點(diǎn)，以線段為邊向下作正方形．當(dāng)兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在封閉圖形的內(nèi)部（不包含邊界）時(shí)，求出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（1，1）；（2），；（3）①，②或

【解析】

（1）聯(lián)立一次函數(shù)y＝3x﹣2與y＝x組成方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）聯(lián)立二次函數(shù)y＝x2﹣3x+1與y＝x組成方程組，解之即可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，由點(diǎn)P、Q在直線y＝x上，可得出△PQR為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥QR，垂足為點(diǎn)P′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)R的坐標(biāo)；

（3）①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出a、b的值；

②聯(lián)立一次函數(shù)y＝﹣x+m與y＝x成方程組，解之即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，分只有點(diǎn)D在圖形M的內(nèi)部及只有點(diǎn)E在圖形M的內(nèi)部?jī)煞N情況找出關(guān)于m的不等式組，解之即可得出結(jié)論（對(duì)于只寫答案不寫過(guò)程的可以直接代入點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，利用極限法找出m的取值范圍）．

解：（1）根據(jù)題意得：，

解得：，

∴一次函數(shù)y＝3x﹣2的不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）．

（2）根據(jù)題意得：，

解得：，，

，，，．

∵點(diǎn)P、Q在直線y＝x上，

∴∠QPR＝45°，

∴△PQR為等腰直角三角形．

過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥QR，垂足為點(diǎn)P′，如圖1所示．

，，，，

，，，

，．

（3）①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的兩個(gè)不變點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣1，﹣1）、B（3，3），

，

解得：．

②，解得：，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

∵四邊形ACDE為正方形，點(diǎn)A、C在直線y＝x上，A（﹣1，﹣1），

，，點(diǎn)，．

當(dāng)只有點(diǎn)在圖形的內(nèi)部時(shí)，有，

解得；

當(dāng)只有點(diǎn)在圖形的內(nèi)部時(shí)，有，

解得：．

綜上所述：的取值范圍為或．