Question

【題目】如圖，已知直線的函數表達式為，它與軸、軸的交點分別為A、B兩點.

（1）求點A、B的坐標；

（2）設F是軸上一動點，⊙P經過點B且與軸相切于點F，設⊙P的圓心坐標為P(x,y)，求y與之間的函數關系；

（3）是否存在這樣的⊙P，既與軸相切，又與直線相切于點B？若存在，求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），B（0，3）； （2）y=x2+； （3）存在．點的坐標為（1， ）或（﹣9，15）.

【解析】試題分析:(1)根據坐標軸上點的坐標特征易得以A點坐標為(﹣4,0), B點坐標為(0,3),

(2)過點P作PD⊥y軸于D,則PD=,BD=,根據切線的性質得PF=y,則PB=y,

在Rt△BDP中,根據勾股定理得到y2=x2+(3﹣y)2 ,然后整理可得到:y=x2+,

(3)因為⊙P與軸相切于點F,且與直線相切于點B,根據切線長定理得到:AB=AF,而AB=5,所以AF=再把分別代入y=x2+計算出對應的函數值,即可確定P點坐標.

試題解析:（1）A點坐標為(﹣4,0),B點坐標為(0,3),

（2）過點P作PD⊥y軸于D,如圖1,

則PD=|x|,BD=|3﹣y|,

∵⊙P經過點B且與x軸相切于點F,

∴PB=PF=y,

在Rt△BDP中,

∴PB2=PD2+BD2,

∴y2=x2+(3﹣y)2,

∴y=x2+,

（3）存在.

如圖2,∵⊙P與x軸相切于點F,且與直線l相切于點B,

∴AB=AF,

∵AB2=OA2+OB2=52,

∴AF=5,

∵AF=|x+4|,

∴|x+4|=5,

∴x=1或x=﹣9,

當x=1時,y=,

當x=﹣9時,y==15,

∴點的坐標為(1, )或(﹣9,15).