Question

【題目】在△ABC 中，AB=AC，點 M 在 BA 的延長線上，點 N 在 BC 的延長線上，過點 C 作CD∥AB 交∠CAM 的平分線于點 D．

（1）如圖 1，求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形；

（2）如圖 2，當∠ABC=60°時，連接 BD，過點 D 作 DE⊥BD，交 BN 于點 E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖 2 中四個三角形（不包含△CDE），使寫出的每個三角形的面積與△CDE 的面積相等．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABC、△DBC、△ABD、△ACD．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質可得∠CAM=2∠ABC，根據角平分線的定義可得∠CAM=2∠MAD，等量代換得到∠ABC=∠MAD，進而證得AD∥BC即可解決問題；

（2）首先證明平行四邊形ABCD是菱形，然后證明△DCE是等邊三角形，得到CE=CD=BC=AD，根據等底等高的三角形面積相等可得答案.

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠CAM=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，

∵AD是∠CAM 的平分線，

∴∠CAM=2∠MAD，

∴∠ABC=∠MAD，

∴AD∥BC，

∵CD∥AB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵∠ABC=60°，AB=AC，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴△ABC是等邊三角形，∠DCE=∠ABC=60°，

∴AB=BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形，

∴∠DBE=30°，

∵DE⊥BD，

∴∠DEB=60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴CE=CD=BC=AD，

∵AD∥BC，

∴△ABC、△DBC、△ABD、△ACD的面積都與△CDE的面積相等．