【題目】感知：如圖1，在
中，D、E分別是AB、AC兩邊的中點，延長DE至點F，使
，連結
易知
≌
．
探究：如圖2，AD是的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且
，求證：
．
應用：如圖3，在中，
，
，
，DE是的中位線
過點D、E作
，分別交邊BC于點F、G，過點A作
，分別與FD、GE的延長線交于點M、N，則四邊形MFGN周長C的取值范圍是______．
【答案】（1）探究：證明見詳解 （2）應用：
【解析】
（1）探究：如圖，延長AD至點M，使
，連接MC，根據題意有
≌
，得到
，
，然后因為
，
，所以
，即
.
（2）應用：由題意知四邊形MFGN是平行四邊形，因為
是
的中位線，所以MN=FG=DE，故當NG⊥BC是四邊形MFGN周長C的值最小，當NG與AC重合時四邊形MFGN周長C最大，分別求出最大最小值即可.
（1）探究：如圖2，延長AD至點M，使，連接MC，
在和中，
，
≌
；
，，
，
，
，
，
，
；
（2）應用：解：如圖3，
，
，
四邊形MFGN是平行四邊形，
，
，
是的中位線，
，
，
，
四邊形MFGN周長
，
時，MF最短，
即：四邊形MFGN的周長最小，
過點A作
于H，
∴
，
在
中，
，
，
，
，
，
∴
，
四邊形MFGN的周長C最小為
，
四邊形MFGN的周長C最大為
，
如圖
故答案為：
．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖鋼架中，∠A=
,焊上等長的鋼條P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……來加固鋼架.著P1A= P1P2,且恰好用了4根鋼條,則α的取值范圈是( )
A.15°≤ a <18°
B.15°< a ≤18°
C.18°≤ a <22.5°
D.18° < a ≤ 22.5°
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知，如圖，一次函數y=kx+b（k、b為常數，k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數y=
（n為常數且n≠0）的圖象在第二象限交于點C．CD⊥x軸，垂直為D，若OB=2OA=3OD=6．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式；
（2）求兩函數圖象的另一個交點坐標；
（3）直接寫出不等式；kx+b≤
的解集．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結AE、DE、DC
①求證：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度數．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】為發展學生的核心素養，培養學生的綜合能力，某學校計劃開設四門選修課：樂器、舞蹈、繪畫、書法，學校采取隨機抽樣的方法進行問卷調查
每個被調查的學生必須選擇而且只能選擇其中一門
對調查結果進行整理，繪制成如下兩幅不完整的統計圖
請結合圖中所給信息解答下列問題：
本次調查的學生共有______人，在扇形統計圖中，m的值是______．
分別求出參加調查的學生中選擇繪畫和書法的人數，并將條形統計圖補充完整．
該校共有學生2000人，估計該校約有多少人選修樂器課程？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點M是二次函數
圖象上一點，過點M作
軸，如果二次函數
的圖象與關于l成軸對稱，則稱是關于點M的伴隨函數
如圖2，在平面直角坐標系中，二次函數的函數表達式是
，點M是二次函數圖象上一點，且點M的橫坐標為m，二次函數是關于點M的伴隨函數．
若
，
求的函數表達式．
點
，
在二次函數的圖象上，若
，a的取值范圍為______．
過點M作
軸，
如果
，線段MN與的圖象交于點P，且MP：
：3，求m的值．
如圖3，二次函數的圖象在MN上方的部分記為
，剩余的部分沿MN翻折得到
，由和所組成的圖象記為
.以
、
為頂點在x軸上方作正方形
直接寫出正方形ABCD與G有三個公共點時m的取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】將
繞點
逆時針旋轉
得到
，
的延長線與
相交于點
，連接
、
．
如圖
，若
，
．
①求證：
；②猜想線段
、
的數量關系，并證明你的猜想；
如圖
，若
，
（
為常數），求
的值（用含、的式子表示）．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點D，E分別在正△ABC的邊AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于點F．
（1）①求證：△ACE≌△CBD；②求∠AFD的度數；
（2）如圖2，若D，E，M，N分別是△ABC各邊上的三等分點，BM，CD交于Q．若△ABC的面積為S，請用S表示四邊形ANQF的面積 ；
（3）如圖3，延長CD到點P，使∠BPD＝30°，設AF＝a，CF＝b，請用含a，b的式子表示PC長，并說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，
中，
，
，
．
點
從點
開始沿
邊向
以
的速度移動，點
從點開始沿
邊向點
以
的速度移動．如果、分別從，同時出發，線段
能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．
若點沿射線方向從點出發以的速度移動，點沿射線
方向從點出發以的速度移動，、同時出發，問幾秒后，
的面積為
？
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