Question

【題目】定義：有一組對角互補的四邊形叫做互補四邊形，如圖，在互補四邊形紙片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°．將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的紙片從一個頂點出發的直線裁剪，把剪開的紙片打開后鋪平，若鋪平后的紙片中有一個面積為4的平行四邊形，則CD的長為__．

Answer 1

【答案】2+4或+2．

【解析】

根據題意結合裁剪的方法得出符合題意的圖形有兩個，分別利用菱形的判定與性質以及勾股定理得出CD的長．

解：如圖1所示：從頂點A（或C）剪開紙片，四邊形ABCE是平行四邊形，

根據題意可知：

∵BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°

∴△ABD≌△CBD（SAS）

∴∠ABD＝∠CBD＝75°，

∵四邊形ABCE是面積為4的平行四邊形，AB＝CB

∴ABCE是菱形，

∴△BCE的面積為2，CB＝CE＝AB，

∴∠BCE＝30°，

作BG⊥CE于點G，

∴BC＝2BG，

∴CE＝2BG，

∴S△BCE＝CEBG=2

∴BG2＝2，

∴BG＝，CE＝2，

∴CG＝BG＝，

∴CF＝CG+GF＝CG+AB＝CG+CE＝+2．

∵∠ADC＝30°，∠CFD＝90°

∴CD＝2CF＝2+4．

如圖2，從頂點B剪開紙片，當四邊形BEDF是平行四邊形時，

∵BE=BF，
∴平行四邊形BEDF是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，
∴∠ADB=∠BDC=15°，
∵BE=DE，
∴∠AEB=30°，
∴設AB=y，則BE=2y，AE= y，

∴DE=2y，
∵四邊形BEDF面積為4，
∴AB×DE=4，
即2y2=4，

解得：y=，

故AE=，DE=2，
則CD=AD=+2，
綜上所述：CD的值為：2+4或+2．

故答案為2+4或+2．