Question

【題目】如圖，拋物線經過x軸上的點A（1，0）和點B及y軸上的點C，經過B、C兩點的直線為．

①求拋物線的解析式．

②點P從A出發，在線段AB上以每秒1個單位的速度向B運動，同時點E從B出發，在線段BC上以每秒2個單位的速度向C運動．當其中一個點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t秒，求t為何值時，△PBE的面積最大并求出最大值．

③過點A作于點M，過拋物線上一動點N（不與點B、C重合）作直線AM的平行線交直線BC于點Q．若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的橫坐標．

Answer 1

【答案】①；②當時，△PBE的面積最大，最大值為；③點N的橫坐標為：4或或．

【解析】

①點B、C在直線為上，則B（﹣n，0）、C（0，n），點A（1，0）在拋物線上，所以，解得，，因此拋物線解析式：；

②先求出點P到BC的高h為，于是，當時，△PBE的面積最大，最大值為；

③由①知，BC所在直線為：，所以點A到直線BC的距離，過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．設，則、，易證△PQN為等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．

解：①∵點B、C在直線為上，

∴B（﹣n，0）、C（0，n），

∵點A（1，0）在拋物線上，

∴，

∴，，

∴拋物線解析式：；

②由題意，得，

，，

由①知，，

∴點P到BC的高h為，

∴，

當時，△PBE的面積最大，最大值為；

③由①知，BC所在直線為：，

∴點A到直線BC的距離，

過點N作x軸的垂線交直線BC于點P，交x軸于點H．

設，則、，

易證△PQN為等腰直角三角形，即，

∴，

Ⅰ．，

∴

解得，，

∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴；

Ⅱ．，

∴

解得，，

∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

，

∴，

Ⅲ．，

∴，

解得，，

∵點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

，

∴，

綜上所述，若點A、M、N、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點N的橫坐標為：4或或．