Question

【題目】某書店以元的價格購進一批科普書進行銷售，物價局根據市場行情規定，銷售單價不低于元且不高于元．在銷售中發現，該科普書的每天銷售數量（本）與銷售單價（元）之間存在某種函數關系，對應如下：

銷售單價（元）
銷售數量（本）

（1）用你所學過的函數知識，求出與之間的函數關系式；

（2）請問該科普書每天利潤（元）的最大值是多少？

（3）如果該科普書每天利潤必須不少于元，試求出每天銷售數量最少為多少本？

Answer 1

【答案】（1）；（2）該科普書每天利潤（元）的最大值是元；（3）每天銷售數量最少為20本．

【解析】

（1）先根據表格可知與之間的函數關系為一次函數，再利用待定系數法求解即可；

（2）先根據“利潤（銷售單價進價）銷售數量”得出該科普書每天利潤關于x的關系式，再利用二次函數的性質求出即可得；

（3）結合（2）的與x的關系式，先求出時，x的值，再根據二次函數的性質得出時，x的取值范圍，然后根據一次函數的性質求解即可得．

（1）由表格可知，與之間的函數關系為一次函數

則設與之間的函數關系式為

將點代入得：

解得

故與之間的函數關系式為；

（2）由題意得：

結合（1）的結論得：

整理得：

由二次函數的性質可知，當時，w隨x的增大而增大；當時，w隨x的增大而減小

則當時，取得最大值，最大值為元

答：該科普書每天利潤（元）的最大值是元；

（3）當時，，解得：或

由二次函數的圖象性質得：當時，

又

當時，

對于一次函數，在范圍內，y隨x的增大而減小

則當時，取得最小值，最小值為（本）

答：每天銷售數量最少為20本．