Question

【題目】對于△ABC及其邊上的點P，給出如下定義：如果點，，，……,都在△ABC的邊上，且，那么稱點，，，……,為△ABC關于點P的等距點，線段，，，……,為△ABC關于點P的等距線段.

（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點P是BC的中點.

①點B，C △ABC關于點P的等距點，線段PA，PB △ABC關于點P的等距線段；（填“是”或“不是”）

②△ABC關于點P的兩個等距點，分別在邊AB，AC上，當相應的等距線段最短時，在圖1中畫出線段，；

（2）△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在BC上，點C，D是△ABC關于點P的等距點，且PC=1,求線段DC的長；

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.點P在BC上，△ABC關于點P的等距點恰好有四個，且其中一個是點.若，直接寫出長的取值范圍.（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①是，不是；②見解析；（2）DC=1或2；（3）.

【解析】

（1）①根據閱讀材料中△ABC關于點P的等距點和△ABC關于點P的等距線段的定義判斷即可；

②根據題意，點P在∠BAC的平分線上，要使相應的等距線段最短，只要過點P作AB、AC的垂線段即可；

（2）顯然點D不可能在AB邊上，分點D在等邊△ABC的邊AC、BC上，畫出圖形，然后根據等距點的概念和等邊三角形的判定與性質求解即可；

（3）先求出△ABC關于點P的等距點恰好有3個，且其中一個是點時的PC的長，進而可得答案.

解：（1）①∵點P是BC的中點，∴PB=PC，∴點B、C是△ABC關于點P的等距點；

∵PA≠PB，∴線段PA，PB不是△ABC關于點P的等距線段；

故答案為：是，不是；

②線段，如圖3所示：

（2）顯然，點D不可能在AB邊上，若點D在AC邊上，如圖4所示，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°，

∵點C，D是△ABC關于點P的等距點，∴PC=PD，

∴△PCD是等邊三角形，∴CD=PC=1；

若點D在BC邊上，如圖5所示，∵點C，D是△ABC關于點P的等距點，∴PC=PD=1，∴CD=2；

∴DC=1或2；

（3）當PM⊥AB且PM=PC時，如圖6，此時△ABC關于點P的等距點恰好有3個，且其中一個是點，

∵∠B＝30°，∴BP=2PM，∴BC=3PC=a，∴；

當點P為BC的中點時，如圖7所示，此時△ABC關于點P的等距點恰好有3個，且其中一個是點，∴；

∴△ABC關于點P的等距點恰好有四個，且其中一個是點時，PC長的取值范圍是：.