Question

【題目】定義：將函數l的圖象繞點P（m，0）旋轉180°，得到新的函數l'的圖象，我們稱函數l'是函數關于點P的相關函數．

例如：當m＝1時，函數y＝（x+1）2+5關于點P（1，0）的相關函數為y＝﹣（x﹣3）2﹣5．

（1）當m＝0時

①一次函數y＝x﹣1關于點P的相關函數為 ；

②點（，﹣）在二次函數y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）關于點P的相關函數的圖象上，求a的值．

（2）函數y＝（x﹣1）2+2關于點P的相關函數y＝﹣（x+3）2﹣2，則m＝　 　；

（3）當m﹣1≤x≤m+2時，函數y＝x2﹣mx﹣m2關于點P（m，0）的相關函數的最大值為6，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x+1；②a＝；（2）-1；（3）m的值為或．

【解析】

（1）①由相關函數的定義，將y＝x﹣1旋轉變換可得相關函數為y＝x+1；

②將（，﹣）代入可得a的值，

（2）兩函數頂點關于點P中心對稱，可用中點坐標公式獲得點P坐標，從而獲得m的值；

（3）在相關函數中，以對稱軸在給定區間的左側，中部，右側，三種情況分類討論，獲得對應的m的值．

解：（1）①∵一次函數y＝x﹣1，k=1,過（0，-1）

∴繞點P（0，0）旋轉180°后k不變，過（0，1）

∴關于點P的相關函數為y＝x+1，

故答案為：y＝x+1；

②∵，

∴y＝﹣ax2﹣ax+1關于點P（0，0）的相關函數為，

∵點A（，﹣）在函數的圖象上，

∴，

解得a＝，

（2）∵函數y＝（x﹣1）2+2的頂點為（1，2），函數y＝﹣（x+3）2﹣2的頂點為（﹣3，﹣2），

這兩點關于中心對稱，

∴，

∴m＝﹣1，

故答案為：﹣1．

（3）∵，

∴關于點P（m，0）的相關函數為，

①當，即m≤﹣2時，y有最大值是6，

∴，

∴，（不符合題意，舍去），

②當時，即﹣2＜m≤4時，當時，y有最大值是6，

∴

∴，（不符合題意，舍去），

③當，即m＞4時，當x＝m+2時，y有最大值是6，

∴，

∴（不符合題意，舍去），

綜上，m的值為或．