Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，AE交BF于點H，CG∥AE交BF于點G．下列結論：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④

BC2

CF2

=

BG

GF

．其中正確的序號是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

分析：①根據正方形的性質求證△BHE為直角三角形即可得出結論；
②由①求證△CGF∽△BCF．利用其對應邊成比例即可求得結論；
③由①求證△BHE≌△CGF即可得出結論，
④利用相似三角形對應邊成比例即可求得結論．

解答：解：①∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF為直角三角形，
∴CG∥AE交BF于點G，
∴△BHE也為直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正確．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴

CG

BC

=

CF

BF

，
∴CG•BF=BC•CF，
∴②正確；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG錯誤；
④∵△BCG∽△BFC，
∴

BC

BF

=

BG

BC

，即BC²=BG•BF，
同理可得△BCF∽△CGF，
可得CF²=BF•GF，
∴

BC2

CF2

=

BG

GF

，
∴④正確，綜上所述，正確的有①②④．
故選D．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義等知識點的理解和掌握，步驟繁瑣，有一定的拔高難度，屬于中檔題．