Question

【題目】已知平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側），與拋物線的對稱軸相交于點，記拋物線的頂點為，過點作軸，垂足為．

（1）若軸，，求的值；

（2）當，拋物線與軸交于時，設射線與直線相交于點，求的值；

（3）延長，相交于點，求證：四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）先根據軸求出直線的函數解析式，再利用拋物線的軸對稱性，求得A，B兩點坐標，代入計算即可；

（2）先求出直線與拋物線的函數解析式，進而求得交點A、B以及頂點D的坐標，從而求得BD的函數解析式，然后求出點P、C的坐標，便可計算得到結論；

（3）設點坐標為，點坐標為，得到所在直線解析式，求得F的坐標，再利用根與系數的關系得到，進而得證

解：（1）∵軸，∴，即直線解析式為，

∵且拋物線對稱軸為，

∴，．

∴點坐標為，點坐標為

代入求解得．

（2）解：當時，直線解析式為；拋物線與軸交于時，，即拋物線解析式為．

∴直線與拋物線交點坐標為，．

又拋物線頂點，

設直線解析式為，將，代入

解出直線解析式．

于是把代入中，可求得點坐標為

于是把x=1代入中，可求得點坐標為，

結合，，，，

可得的值為．

（3）解：設點坐標為，點坐標為，所在直線解析式為：．

將點代入解析式中得．

∴：．

∴令，可得點坐標為．

∵，為直線與拋物線：的交點，

∴．

設，是方程的兩根，

∴，．

∴．

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形．