Question

【題目】在如圖平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），OA、OC分別落在x軸和y軸上，OB是矩形的對角線．將△OAB繞點O逆時針旋轉，使點B落在y軸上，得到△ODE，OD與CB相交于點F，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點F，交AB于點G．

（1）求k的值和點G的坐標；

（2）連接FG，則圖中是否存在與△BFG相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種進行證明；若不存在，請說明理由；

（3）在線段OA上存在這樣的點P，使得△PFG是等腰三角形．請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）k＝2，點G的坐標為（4，）；（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG，證明詳見解析；（3）點P的坐標為（4﹣，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）證明△COF∽△AOB，則，求得：點F的坐標為（1，2），即可求解；

（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．證△OAB∽△BFG：，，即可求解．

（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三種情況，分別求解即可．

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點B的坐標為（4，2），

∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，

∵△ODE是△OAB旋轉得到的，即：△ODE≌△OAB，

∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，

∴，∴＝，∴CF＝1，

∴點F的坐標為（1，2），

∵y＝（x＞0）的圖象經過點F，

∴2＝，得k＝2，

∵點G在AB上，

∴點G的橫坐標為4，

對于y＝，當x＝4，得y＝，

∴點G的坐標為（4，）；

（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．

下面對△OAB∽△BFG進行證明：

∵點G的坐標為（4，），∴AG＝，

∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，

∴BF＝BC﹣CF＝3，

BG＝AB﹣AG＝．

∴，．

∴，

∵∠OAB＝∠FBG＝90°，

∴△OAB∽△FBG．

（3）設點P（m，0），而點F（1，2）、點G（4，），

則FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，

當GF＝PF時，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去負值）；

當PF＝PG時，同理可得：m＝；

當GF＝PG時，同理可得：m＝4﹣；

綜上，點P的坐標為（4﹣，0）或（，0）或（，0）．