Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，雙曲線y=（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和點E的坐標；

（2）點P是線段OC上的一個動點，是否存在點P，使∠APE=90°？若存在，求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k="4," E（4，1）；（2）存在要求的點P，坐標為（1，0）或（3，0）．

【解析】試題分析：（1）由矩形ABCD中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得 AD的長，然后求得點D的坐標，即可求得K的值，繼而求得點 E的坐標；（2）首先假設存在要求的點P坐標為（m,0），OP=m,CP=4-m,由∠APE=90，易證得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得m的值，繼而求得此時點P的坐標．

試題解析：（9分）（1）∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD=，

又∵OA=3，所以D（，3），∵點D在雙曲線上，所以k=×3=4．

∵四邊形OABC為矩形,∴AB=OC=4，∴點E的橫坐標為4．

把x=4代入中，得y=1，所以E（4，1）．

（2）假設存在要求的點P坐標為（m，0），OP=m，CP=4-m．

∵∠APE=90，∴∠APO+∠EPC=90,又∵∠APO+∠OAP=90, ∴∠EPC=∠OAP，

又∵∠AOP=∠PCE=90，∴△AOP∽△PCE，∴，

∴,解得：m=1或m=3．

所以，存在要求的點P，坐標為（1，0）或（3，0）．